Peubah Acak dan Sebaran Peluang

PEUBAH ACAK DAN SEBARAN PELUANG

A.   Peubah Acak (Random Variabel)

Untuk menggambarkan hasil sebuah percobaan dalam bentuk numerik secara sederhana, maka yang digunakan adalah peubah acak (random variabel). Peubah acak ini merupakan suatu fungsi dari ruang contoh ke bilangan nyata. Setiap anggota dari ruang sampel percobaan, biasa mengambil tepat satu nilai. Peubah Acak X adalah fungsi dari S ruang sampel ke bilangan real R.

Karena nilai-nilai numerik tersebut dapat bersifat diskrit (hasil perhitungan) dan bersifat kontinu (hasil pengukuran) maka variabel acak dapat dikelompokkan menjadi variabel acak diskrit dan variabel acak kontinu.

1.     Variabel Acak Diskrit

Varibel acak diskrit adalah variabel acak yang tidak mengambil seluruh nilai yang ada dalam sebuah interval atau variabel yang hanya memiliki nilai tertentu. Nilainya merupakan bilangan bulat dan asli, tidak berbentuk pecahan. Variabel acak diskrit jika digambarkan pada sebuah garis interval, akan berupa sederetan titik-titik yang terpisah.

Contoh :

1) Banyaknya pemunculan sisi muka atau angka dalam pelemparan sebuah  koin (uang logam).

2) Jumlah anak dalam sebuah keluarga.

2.    Variabel Acak Kontinu

Varibel acak kontinu adalah variabel acak yang mengambil seluruh nilai yang ada dalam sebuah interval atau variabel yang dapat memiliki nilai-nilai pada suatu interval tertentu. Nilainya dapat merupakan bilangan bulat maupun pecahan. Varibel acak kontinu jika digambarkan pada sebuah garis interval, akan berupa sederetan titik yang bersambung membantuk suatu garis lurus.

Contoh :

1.  Usia penduduk suatu daerah.

2. Panjang beberpa helai kain.

B.    Sebaran Peluang ( Distribusi Peluang )

Sebaran peluang atau Distribusi Peluang adalah tabel, gambar, atau persamaan yang menggambarkan atau mendeskripsikan nilai-nilai yang mungkin dari peubah acak dan peluang yang bersesuaiannya (Peubah Acak Diskrit) atau kepadatan (Peubah Acak Kontinu).

1.   Sebaran Peluang Diskret

Sebaran peluang didefinisikan dengan fungsi peluang dan dinotasikan sebagai p(x).

a.    Fungsi sebaran peluang p(x) menyatakan probabilitas untuk setiap nilai variabel acak X.

Contoh:

Tentukan sebaran peluang dari jumlah sepasang mata dadu jika dilantunkan !

Jawab:

 Andaikan X peubah acak yang nilainya x merupakan jumlah pasangan mata dadu. Maka x akan bernilai dari 2 sampai 12. Sepasang dadu akan memiliki kombinasi muncul sebanyak 6⋅6 = 36 cara, masing-masing dengan peluang 1/36.

b.    Fungsi sebaran Kumulatif

Fungsi kumulatif digunakan untuk menyatakan jumlah dari seluruh nilai fungsi probabilitas yang lebih kecil atau sama dengan suatu nilai yang ditetapkan. Secara matematis, fungsi probabilitas kumulatif dinyatakan sebagai berikut.

F(x) = P(X £ x) = X £ p(x) Dimana:

F(x) = P(X £ x) menyatakan fungsi probabilitas kumulatif pada titik X = x yang merupakan jumlah dari seluruh nilai fungsi probabilitas untuk nilai X sama atau kurang dari x.

Contoh

Suatu koin dilantunkan empat kali.

Tentukan:

1) formula sebaran peluang munculnya H yaitu f(x)

2) sebaran kumulatif F(x) nya

Jawab:

1)    Jumlah titik cuplik anada 24 = 16. Jika x menyatakan banyaknya muncul H, akan ada kombinasi sebanyak C(4,x). Dengan demikian f(x) = C(4, x)/16, dimana x = 0, 1, 2, 3, 4

f(0) = (4!/4!)/16 =1/16

f(1)=(4!/3!)/16 = 4/16

f(2) = (4!/(2!2!))/16 = 6/16

 f(3) = f(1)

 f(4)= f(0);

2)   F(0) = f(0) = 1/16; F(1) = f(0) + f(1) = 5/16; ... dst

2.    Sebaran Peluang Kontinu

Distribusi peluang variabel acak kontinu dinyatakan dengan fungsi f(x) dan sering disebut sebagai fungsi kepadatan atau fungsi kepadatan peluang dan bukan fungsi peluang. Nilai f(x) bisa lebih besar dari 1.

Arti kerapatan peluang (kontinyu)

Tinjau sebaran tinggi badan dari orang berumur 21 thn. Antara sebarang dua nilai, mis. 163.5 –164.5, ada tak hingga macam tinggi badan. Peubah acak kontinyu memiliki peluang nol untuk suatu nilai eksak dari peubah acak ini.

P (a < X ≤ b )  = P ( a < X < b ) + P ( X = b )

= P ( a < X< b )+ 0

Jadi, tidak ada bedanya mengikutkan titik ujung dalam perhitungan ini atau pun tidak.

Peubah acak kontinyu tidak dapat ditampilkan secara tabular, namun bias dinyatakan dalam rumus. Peubah acak kontinyu dinyatakan dalam suatu fungsi rapat peluang f(x)

Fungsi rapat peluang kontinyu

Suatu fungsi rapat peluang dibentuk sedemikian hingga integrasi daerah dibawah kurva keseluruh X memberikan luas sebesar satu. Penentuan nilai peluang dalam rentang peubah acak antara a dan b.

Def. fungsi rapat peluang kontinyu

Suatu fungsi f(x) adalah fungsi rapat peluang untuk peubah acak kontinyu X yang didefinisikan keseluruh himpunan bilangan riil R, jika :

1.      F (x) ≥ 0 untuk semua x ∈ R

2.      ∫∞-∞ f(x) dx= 1

3.      P ( a < X < b ) =  ∫ba f(x) dx

Contoh:

Andaikan peubah acak X memiliki fungsi rapat peluang: f(x) = x2/3 ; -1<x<2 dan f(x)=0 selain itu. Tentukan:

(1) kondisi 2 pada definisi rapat kontinu

(2) Tentukan P(0< X ≤1)

Jawab:

1)      ∫∞-∞f(x) dx= ∫2-1(x2/3)dx = x3/9|2-1=(8/9) + (1/9) = 12)

2)       P(0< X ≤1) = ∫10(x2/3)dx= x3/9|10= 1/9

Sebaran peluang kumulatif kontinyu

Sebaran peluang kumulatif F(x) dari suatu peubah acak kontinyu X dengan fungsi kerapatan f(x) diberikan oleh

     Ada dua hasil langsung, yaitu:

1) P(a<X<b) = F(b) –F(a)

2) f(x) = dF(x)/dx

Contoh

Soal: Untuk fungsi pada contoh 2.6., tentukanF(x) dan gunakan untuk menghitung P(0< X ≤1)

Jawab:

Oleh karena itu,

P ( 0 < X ≤ 1 ) = F (1) – F (0) = (2/9) –(1/9) = 1/9

Peluang Matematika

Peluang Matematika

A.   Permutasi

Permutasi merupakan penyusunan kumpulan angka/objek dalam berbagai urutan-urutan yang berbeda tanpa ada pengulangan. Dalam permutasi urutan diperhatikan.

faktorial
n! = n(n-2)(n-2) ... 3 x 2 x 1
0! = 1 dan 1! = 1

Rumus Permutasi

      

Contoh Soal

1.    Himpunan {a,b,c} di ambil 3 anggota, diperoleh susunan : abc, acb, bac, bca, cab, cba

           

2.    Misal sobat rumus hitung beri 5 angka 3,4,5,6, dan 7 dan rumus hitung minta sobat untuk membuat angka yang terdiri dari 3 digit yang tidak berulang, sekarang berapa banyak bilangan yang lebih dari 400 yang bisa sobat hitung buat?
     Jawab :
     karena bilangannya lebih dari 400 maka kotak pertama bisa diisi dengan 4 angka yaitu 4,5,6, dan 7
     karena tidak boleh berulang maka kotak kedua dan ketiga masing-masing bisa diisi 4 angka dan 3 angka
     jadi total angka yang lebih dari 400 ada 4 x 4 x 3 = 48 angka

B.   Permutasi Unsur-unsur  yang sama
     Permutasi unsur yang sama merupakan permutasi yang memiliki unsur yang sama
     contoh:
     Misalkan diberikan kata 5 huruf RUMUS, maka akan ada permutasi yang berulang karena ada dua unsur (huruf) yang sama yang sebenarnya merupakan 1 permutasi. Jika kita masukkan ke rumus yang biasa maka, permutasi 5 dari 5 = 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120. Tapi ketika diamati diantara 120 permutasi pasti ada yang berulang (double) karena ada 2 huruf yang sama. Berapa sebenarnya jumlah permutasi yang benar? Jumlah permutasi jika ada unsur-unsur yang sama bisa dicari dengan rumus

jadi dari 5 huruf R U M U S bisa dibuat susunan sebanyak = 5! / 2! = 3 x 4 x 5 = 60 cara. Misal huruf pembentuk MATEMATIKA maka = 10! / 2! 3! 2! = 151.200
2! 3! 2! –> 2 huruf M, 3 huruf A, dan 2 huruf T

C.   Permutasi Siklis
      Permutasi siklis adalah permutasi yang dibuat dengan menyusun unsur secara melingkar menurut arah putaran tertentu.
     contoh :
     5 orang calon presiden tahun 2014 duduk disebuah meja berbentuk lingkaranuntuk saling berdiskusi. Ada berapa cara untuk menyusun kursi para calon presiden tersebut?
     Jawab : (5-1)! = 4! = 1 x 2 x 3 x4 = 24
      Lain halnya jika yang akan dicari permutasinya adalah objek-objek yang sejenis, misalnya sobat punya 5 buah kelereng yang akan disusung melingkar. Berpa cara untuk menyusunnya?
     Jawab : (5-1)!/2 = 24/2 = 12

D.   Kombinasi
     Dalam kombinasi ini tidak pandang yang namanya posisi. Itulah perbedaan antara permutasi dan kombinasi. Kalau permutasi memperhatikan posisi kalau kombinasi tidak.
     Rumus:

     Contoh:
     Berapa cara menyusun kata ARITMETIKA dengan huruf vokal tidak boleh berdekatan!
      - huruf vokal : A, A, I, I, E = 5 huruf
      - huruf konsonan : M, T, M ,T, K = 5 huruf
     Jadi cara menyusun kata MATEMATIKA dengan huruf  konsonan tidak berdekatan yaitu :

        = 6 x 30 x 60
       =10800 cara
      Soal Permutasi dan Kombinasi
      Saat akan menjamu Bayern Munchen di Allianz arena, Antonio Conte (Pelatih Juventus) punya 20 pemain yang akan dipilih 11 diantaranya untuk jadi starter. Berapa banyak cara pemilihan starter tim juventus? (tidak memperhatikan posisi pemain)
     Jawab :

      Jadi Antonio Conte punya 167.960 kombinasi . Selain soal-soal di atas ada soal yang sering keluar mengenai permutasi dan kombinasi yaitu soal jabat tangan. Contohnya, misal dalam sebuha pesta hadir 60 orang dan masing-masing saling berjabat tangan. Berapa jumlah jabat tangan yang terjadi?
      untuk menjawab soal permutasi dan kombinasi tersebut mudah, kita pakai logika saja. Jika semua saling bersalaman satu sama lain maka 1 orang akan bersalaman dengan 59 orang. Jika ada 60 orang maka 59 x 60. Akan tetapi ketika A jabat tangan dengan B akan sama dengan B jabatan dengan A jadi harus dibagi 2. Jumlah jabat tangan yang terjadi = 59 x 60 /2 = 1770 jabat tangan

E.   Peluang (Probabilitas)

a.    Ruang Sampel dan Kejadian Ruang sampel atau sampel adalah himpunan semua kejadian yang mungkin dari sebuah experience, disimbolkan “S”. Himpunan bagian dari ruang sampel dinamakan kejadian/event. Secara khusus, himpunan yang hanya terdiri dari satu kejadian dinamakan kejadian dasar.
     Contoh
     1.    Jika sebuah koin dilempar 3 kali, kejadian yang mungkin adalah S={GGG,GGA,GAG,AGG,GAA,AGA,AAG,AAA}. Dengan S adalah ruang sampel.

Peluang merupakan suatu kemungkinan terjadinya kejadian alam terjadi di masa mendatang.
Ada tiga hal penting dalam probabilitas :
a.    Percobaan adalah pengamatan terhadap beberapa aktovitas atau proses yang memungkinkan timbulnya paling sedikit 2 peristiwa tanpa memperhatikan peristiwa mana yang akan terjadi.
b.    Hasil adalah suatu hasil dari sebuah percobaan.
c.    Peristiwa adalah kumpulan dari satu atau lebih hasil yang terjadi pada sebuhan percobaan atau kegiatan.
Pendekatan Peluang (probabilitas)
a)    Pendekatan Klasik
      Pendekatan klasik didasarkan pada sebuah peristiwa mempunyai kesempatan untuk terjadi sama besar. Probabilitas suatu peristiwa kemudian dinyatakan sebagai suatu rasio antara jumlah kemungkinan hasil dengan total kemungkinan hasil.

Ket.
P(A) : Peluang
n(A) : Peluang kejadian A
n(N) : Peluang seluruh kejadian
Contoh:
 Pelamaran pekerjaan terdiri dari 20 orang pria (A) dan 15 wanita (B). Jika yang terima hanya 1, berpa peluang bahwa ia merupakan wanita ?
Jawaban:

b)    Pendekatan Subjektif.
     Penilaian subjektif diberikan terlalu sedikit atau tidak ada informasi yang diperoleh dan berdasarkan keyakinan
     Contoh:
     Peluang untuk keluar mata 4 atau mata 6 pada pelemparan satu kali sebuah dadu adalah?
     Jawaban

c)    Pendekatan Relatif
     Besarnya probabilitas suatu peristiwa tidak dianggap sama, tetapi tergantung pada berapa banyak suatu peristiwa terjadi dari keseluruhan percobaan atau kegiatan yang dilakukan. Probabilitas dapat dinyatakan sebagai berikut :
Contoh :
      Dari hasil penelitian diketahui bahwa 5 orang karyawan akan terserang flu pada musim dingin. Apabila lokakarnya diadakan di Puncak, berapa probabilitas terjadi 1 orang sakit flu dari 400 karyawan yang ikut serta ?Jawaban :

F.    Peluang Bersyarat
     Peluang kejadian bersyarat adalah peluang kejadian bergantung kepada peluang kejadian yang lain.

Peluang kejadian B dengan syarat A terjadi adalah :

Keterangan:

P(B]A) = peluang kejadian bersyarat B dengan syarat A terjadi
P(AB) = peluang kejadian A irisan B
P(A) = peluang kejadian A

Contoh:

Di sebuah daerah, peluang bahwa suatu hari akan berawan adalah 0,4. Diketahui juga bahwa peluang suatu hari berawan dan hujan adalah 0,3. Jikalau hari ini berawan, berapakah peluang bahwa hari ini akan hujan?

Jawab:
kejadian hari berawan = A

$\mathrm{<br>}$

kejadian hari hujan = H

Jadi, jika hari ini berawan, ada 75% kemungkinan akan hujan hari ini.

G.   Teorema Bayes

Dalam teori probabilitas dan statistika, Pengertian Teorema Bayes adalah teorema yang digunakan untuk menghitung peluang dalam suatu hipotesis, Teorema bayes dikenalkan oleh ilmuan yang bernama Bayes yang ingin memastikan keberadaan Tuhan dengan mencari fakta di dunia yang menunjukan keberadaan Tuhan. Bayes mencari fakta keberadaan tuhan didunia kemudian mengubahnya dengan nilai Probabilitas yang akan dibandingkan dengan nilai Probabilitas. teorema ini juga merupakan dasar dari statistika Bayes yang memiliki penerapan dalam ilmu ekonomi mikro, sains, teori permain, hukum dan kedokteran.

Teorema Bayes akhirnya dikembangkan dengan berbagai ilmu termasuk untuk penyelesaian masalah sistem pakar dengan menetukan nilai probabilitas dari hipotesa pakar dan nilai evidence yang didapatkan fakta yang didapat dari objek yang diagnosa. Teorama Bayes ini membutuhkan biaya komputasi yang mahal karena kebutuhan untuk menghitung nilai probabilitas untuk tiap nilai dari perkalian kartesius. penerapan Teorema Bayes untuk mencari penerapan dinamakan inferens Bayes

Dengan menggunakan probabiitas bersyarat maka :

Contoh Soal :
Sebuah perkantoran biasanya membutuhkan tenaga listrik yang cukup agar semua     aktifitas pekerjaannya terjamin dari adanya pemutusan aliran listrik. Terdapat dua      sumber listrik yang digunakan PLN dan Generator. Bila listrik PLN padam maka   secara otomatis generator akan menyala dan memberikan aliran listrik untuk seluruh perkantoran. Masalah yang selama ini mengganggu adalah ketidak satabilan arus (voltage) Listrik. Selama beberapa tahun terakhir, diketahui bahwa perkantoran itu menggunakan listrik PLN adalah 0.9 dan peluang menggunakan generator adalah 0.1 peluang terjadi ketidak stabilan pada arus PLN maupun generator masing-masing 0.2 dan 0.3.

Permasalahan ini di ilustrasikan Sebagai berikut :

E   : Peristiwa listrik PLN digunakan

Ec : Peristiwa listrik Generator digunakan

A  : Peristiwa terjadinya ketidak stabilan arus

Peristiwa A dapat ditulis sebagai gabungan dua kejadian yang lepas

Diketahui:
P(E)=0.9  P(E’)=0.1
P(A|E)=0.2 P(A|E’)=0/3
Sehingga:
P(A)=P(E).P(A|E)+P(E’).P(A|E’)
=(0.9).(0.2)+(0.2).(0.3)
=0.21
Kembali pada permasalahan diatas, bila suatu saat diketahui terjadi ketidak stabilan arus listrik, maka berapakah probabilitas saat itu aliran listrik berasal dari generator ? Dengan menggunakan rumus probabilitas bersyarat diperoleh.

P(E’|A)=P(E’∩A)/P(A)
 =P(E’).P(A|E’)/P(A)
 =0.03/0.21=0/143