Peluang Matematika

Peluang Matematika

A.   Permutasi

Permutasi merupakan penyusunan kumpulan angka/objek dalam berbagai urutan-urutan yang berbeda tanpa ada pengulangan. Dalam permutasi urutan diperhatikan.

faktorial
n! = n(n-2)(n-2) ... 3 x 2 x 1
0! = 1 dan 1! = 1

Rumus Permutasi

      

Contoh Soal

1.    Himpunan {a,b,c} di ambil 3 anggota, diperoleh susunan : abc, acb, bac, bca, cab, cba

           

2.    Misal sobat rumus hitung beri 5 angka 3,4,5,6, dan 7 dan rumus hitung minta sobat untuk membuat angka yang terdiri dari 3 digit yang tidak berulang, sekarang berapa banyak bilangan yang lebih dari 400 yang bisa sobat hitung buat?
     Jawab :
     karena bilangannya lebih dari 400 maka kotak pertama bisa diisi dengan 4 angka yaitu 4,5,6, dan 7
     karena tidak boleh berulang maka kotak kedua dan ketiga masing-masing bisa diisi 4 angka dan 3 angka
     jadi total angka yang lebih dari 400 ada 4 x 4 x 3 = 48 angka

B.   Permutasi Unsur-unsur  yang sama
     Permutasi unsur yang sama merupakan permutasi yang memiliki unsur yang sama
     contoh:
     Misalkan diberikan kata 5 huruf RUMUS, maka akan ada permutasi yang berulang karena ada dua unsur (huruf) yang sama yang sebenarnya merupakan 1 permutasi. Jika kita masukkan ke rumus yang biasa maka, permutasi 5 dari 5 = 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120. Tapi ketika diamati diantara 120 permutasi pasti ada yang berulang (double) karena ada 2 huruf yang sama. Berapa sebenarnya jumlah permutasi yang benar? Jumlah permutasi jika ada unsur-unsur yang sama bisa dicari dengan rumus

jadi dari 5 huruf R U M U S bisa dibuat susunan sebanyak = 5! / 2! = 3 x 4 x 5 = 60 cara. Misal huruf pembentuk MATEMATIKA maka = 10! / 2! 3! 2! = 151.200
2! 3! 2! –> 2 huruf M, 3 huruf A, dan 2 huruf T

C.   Permutasi Siklis
      Permutasi siklis adalah permutasi yang dibuat dengan menyusun unsur secara melingkar menurut arah putaran tertentu.
     contoh :
     5 orang calon presiden tahun 2014 duduk disebuah meja berbentuk lingkaranuntuk saling berdiskusi. Ada berapa cara untuk menyusun kursi para calon presiden tersebut?
     Jawab : (5-1)! = 4! = 1 x 2 x 3 x4 = 24
      Lain halnya jika yang akan dicari permutasinya adalah objek-objek yang sejenis, misalnya sobat punya 5 buah kelereng yang akan disusung melingkar. Berpa cara untuk menyusunnya?
     Jawab : (5-1)!/2 = 24/2 = 12

D.   Kombinasi
     Dalam kombinasi ini tidak pandang yang namanya posisi. Itulah perbedaan antara permutasi dan kombinasi. Kalau permutasi memperhatikan posisi kalau kombinasi tidak.
     Rumus:

     Contoh:
     Berapa cara menyusun kata ARITMETIKA dengan huruf vokal tidak boleh berdekatan!
      - huruf vokal : A, A, I, I, E = 5 huruf
      - huruf konsonan : M, T, M ,T, K = 5 huruf
     Jadi cara menyusun kata MATEMATIKA dengan huruf  konsonan tidak berdekatan yaitu :

        = 6 x 30 x 60
       =10800 cara
      Soal Permutasi dan Kombinasi
      Saat akan menjamu Bayern Munchen di Allianz arena, Antonio Conte (Pelatih Juventus) punya 20 pemain yang akan dipilih 11 diantaranya untuk jadi starter. Berapa banyak cara pemilihan starter tim juventus? (tidak memperhatikan posisi pemain)
     Jawab :

      Jadi Antonio Conte punya 167.960 kombinasi . Selain soal-soal di atas ada soal yang sering keluar mengenai permutasi dan kombinasi yaitu soal jabat tangan. Contohnya, misal dalam sebuha pesta hadir 60 orang dan masing-masing saling berjabat tangan. Berapa jumlah jabat tangan yang terjadi?
      untuk menjawab soal permutasi dan kombinasi tersebut mudah, kita pakai logika saja. Jika semua saling bersalaman satu sama lain maka 1 orang akan bersalaman dengan 59 orang. Jika ada 60 orang maka 59 x 60. Akan tetapi ketika A jabat tangan dengan B akan sama dengan B jabatan dengan A jadi harus dibagi 2. Jumlah jabat tangan yang terjadi = 59 x 60 /2 = 1770 jabat tangan

E.   Peluang (Probabilitas)

a.    Ruang Sampel dan Kejadian Ruang sampel atau sampel adalah himpunan semua kejadian yang mungkin dari sebuah experience, disimbolkan “S”. Himpunan bagian dari ruang sampel dinamakan kejadian/event. Secara khusus, himpunan yang hanya terdiri dari satu kejadian dinamakan kejadian dasar.
     Contoh
     1.    Jika sebuah koin dilempar 3 kali, kejadian yang mungkin adalah S={GGG,GGA,GAG,AGG,GAA,AGA,AAG,AAA}. Dengan S adalah ruang sampel.

Peluang merupakan suatu kemungkinan terjadinya kejadian alam terjadi di masa mendatang.
Ada tiga hal penting dalam probabilitas :
a.    Percobaan adalah pengamatan terhadap beberapa aktovitas atau proses yang memungkinkan timbulnya paling sedikit 2 peristiwa tanpa memperhatikan peristiwa mana yang akan terjadi.
b.    Hasil adalah suatu hasil dari sebuah percobaan.
c.    Peristiwa adalah kumpulan dari satu atau lebih hasil yang terjadi pada sebuhan percobaan atau kegiatan.
Pendekatan Peluang (probabilitas)
a)    Pendekatan Klasik
      Pendekatan klasik didasarkan pada sebuah peristiwa mempunyai kesempatan untuk terjadi sama besar. Probabilitas suatu peristiwa kemudian dinyatakan sebagai suatu rasio antara jumlah kemungkinan hasil dengan total kemungkinan hasil.

Ket.
P(A) : Peluang
n(A) : Peluang kejadian A
n(N) : Peluang seluruh kejadian
Contoh:
 Pelamaran pekerjaan terdiri dari 20 orang pria (A) dan 15 wanita (B). Jika yang terima hanya 1, berpa peluang bahwa ia merupakan wanita ?
Jawaban:

b)    Pendekatan Subjektif.
     Penilaian subjektif diberikan terlalu sedikit atau tidak ada informasi yang diperoleh dan berdasarkan keyakinan
     Contoh:
     Peluang untuk keluar mata 4 atau mata 6 pada pelemparan satu kali sebuah dadu adalah?
     Jawaban

c)    Pendekatan Relatif
     Besarnya probabilitas suatu peristiwa tidak dianggap sama, tetapi tergantung pada berapa banyak suatu peristiwa terjadi dari keseluruhan percobaan atau kegiatan yang dilakukan. Probabilitas dapat dinyatakan sebagai berikut :
Contoh :
      Dari hasil penelitian diketahui bahwa 5 orang karyawan akan terserang flu pada musim dingin. Apabila lokakarnya diadakan di Puncak, berapa probabilitas terjadi 1 orang sakit flu dari 400 karyawan yang ikut serta ?Jawaban :

F.    Peluang Bersyarat
     Peluang kejadian bersyarat adalah peluang kejadian bergantung kepada peluang kejadian yang lain.

Peluang kejadian B dengan syarat A terjadi adalah :

Keterangan:

P(B]A) = peluang kejadian bersyarat B dengan syarat A terjadi
P(AB) = peluang kejadian A irisan B
P(A) = peluang kejadian A

Contoh:

Di sebuah daerah, peluang bahwa suatu hari akan berawan adalah 0,4. Diketahui juga bahwa peluang suatu hari berawan dan hujan adalah 0,3. Jikalau hari ini berawan, berapakah peluang bahwa hari ini akan hujan?

Jawab:
kejadian hari berawan = A

$\mathrm{<br>}$

kejadian hari hujan = H

Jadi, jika hari ini berawan, ada 75% kemungkinan akan hujan hari ini.

G.   Teorema Bayes

Dalam teori probabilitas dan statistika, Pengertian Teorema Bayes adalah teorema yang digunakan untuk menghitung peluang dalam suatu hipotesis, Teorema bayes dikenalkan oleh ilmuan yang bernama Bayes yang ingin memastikan keberadaan Tuhan dengan mencari fakta di dunia yang menunjukan keberadaan Tuhan. Bayes mencari fakta keberadaan tuhan didunia kemudian mengubahnya dengan nilai Probabilitas yang akan dibandingkan dengan nilai Probabilitas. teorema ini juga merupakan dasar dari statistika Bayes yang memiliki penerapan dalam ilmu ekonomi mikro, sains, teori permain, hukum dan kedokteran.

Teorema Bayes akhirnya dikembangkan dengan berbagai ilmu termasuk untuk penyelesaian masalah sistem pakar dengan menetukan nilai probabilitas dari hipotesa pakar dan nilai evidence yang didapatkan fakta yang didapat dari objek yang diagnosa. Teorama Bayes ini membutuhkan biaya komputasi yang mahal karena kebutuhan untuk menghitung nilai probabilitas untuk tiap nilai dari perkalian kartesius. penerapan Teorema Bayes untuk mencari penerapan dinamakan inferens Bayes

Dengan menggunakan probabiitas bersyarat maka :

Contoh Soal :
Sebuah perkantoran biasanya membutuhkan tenaga listrik yang cukup agar semua     aktifitas pekerjaannya terjamin dari adanya pemutusan aliran listrik. Terdapat dua      sumber listrik yang digunakan PLN dan Generator. Bila listrik PLN padam maka   secara otomatis generator akan menyala dan memberikan aliran listrik untuk seluruh perkantoran. Masalah yang selama ini mengganggu adalah ketidak satabilan arus (voltage) Listrik. Selama beberapa tahun terakhir, diketahui bahwa perkantoran itu menggunakan listrik PLN adalah 0.9 dan peluang menggunakan generator adalah 0.1 peluang terjadi ketidak stabilan pada arus PLN maupun generator masing-masing 0.2 dan 0.3.

Permasalahan ini di ilustrasikan Sebagai berikut :

E   : Peristiwa listrik PLN digunakan

Ec : Peristiwa listrik Generator digunakan

A  : Peristiwa terjadinya ketidak stabilan arus

Peristiwa A dapat ditulis sebagai gabungan dua kejadian yang lepas

Diketahui:
P(E)=0.9  P(E’)=0.1
P(A|E)=0.2 P(A|E’)=0/3
Sehingga:
P(A)=P(E).P(A|E)+P(E’).P(A|E’)
=(0.9).(0.2)+(0.2).(0.3)
=0.21
Kembali pada permasalahan diatas, bila suatu saat diketahui terjadi ketidak stabilan arus listrik, maka berapakah probabilitas saat itu aliran listrik berasal dari generator ? Dengan menggunakan rumus probabilitas bersyarat diperoleh.

P(E’|A)=P(E’∩A)/P(A)
 =P(E’).P(A|E’)/P(A)
 =0.03/0.21=0/143