Peubah Acak dan Sebaran Peluang

PEUBAH ACAK DAN SEBARAN PELUANG

A.   Peubah Acak (Random Variabel)

Untuk menggambarkan hasil sebuah percobaan dalam bentuk numerik secara sederhana, maka yang digunakan adalah peubah acak (random variabel). Peubah acak ini merupakan suatu fungsi dari ruang contoh ke bilangan nyata. Setiap anggota dari ruang sampel percobaan, biasa mengambil tepat satu nilai. Peubah Acak X adalah fungsi dari S ruang sampel ke bilangan real R.

Karena nilai-nilai numerik tersebut dapat bersifat diskrit (hasil perhitungan) dan bersifat kontinu (hasil pengukuran) maka variabel acak dapat dikelompokkan menjadi variabel acak diskrit dan variabel acak kontinu.

1.     Variabel Acak Diskrit

Varibel acak diskrit adalah variabel acak yang tidak mengambil seluruh nilai yang ada dalam sebuah interval atau variabel yang hanya memiliki nilai tertentu. Nilainya merupakan bilangan bulat dan asli, tidak berbentuk pecahan. Variabel acak diskrit jika digambarkan pada sebuah garis interval, akan berupa sederetan titik-titik yang terpisah.

Contoh :

1) Banyaknya pemunculan sisi muka atau angka dalam pelemparan sebuah  koin (uang logam).

2) Jumlah anak dalam sebuah keluarga.

2.    Variabel Acak Kontinu

Varibel acak kontinu adalah variabel acak yang mengambil seluruh nilai yang ada dalam sebuah interval atau variabel yang dapat memiliki nilai-nilai pada suatu interval tertentu. Nilainya dapat merupakan bilangan bulat maupun pecahan. Varibel acak kontinu jika digambarkan pada sebuah garis interval, akan berupa sederetan titik yang bersambung membantuk suatu garis lurus.

Contoh :

1.  Usia penduduk suatu daerah.

2. Panjang beberpa helai kain.

B.    Sebaran Peluang ( Distribusi Peluang )

Sebaran peluang atau Distribusi Peluang adalah tabel, gambar, atau persamaan yang menggambarkan atau mendeskripsikan nilai-nilai yang mungkin dari peubah acak dan peluang yang bersesuaiannya (Peubah Acak Diskrit) atau kepadatan (Peubah Acak Kontinu).

1.   Sebaran Peluang Diskret

Sebaran peluang didefinisikan dengan fungsi peluang dan dinotasikan sebagai p(x).

a.    Fungsi sebaran peluang p(x) menyatakan probabilitas untuk setiap nilai variabel acak X.

Contoh:

Tentukan sebaran peluang dari jumlah sepasang mata dadu jika dilantunkan !

Jawab:

 Andaikan X peubah acak yang nilainya x merupakan jumlah pasangan mata dadu. Maka x akan bernilai dari 2 sampai 12. Sepasang dadu akan memiliki kombinasi muncul sebanyak 6⋅6 = 36 cara, masing-masing dengan peluang 1/36.

b.    Fungsi sebaran Kumulatif

Fungsi kumulatif digunakan untuk menyatakan jumlah dari seluruh nilai fungsi probabilitas yang lebih kecil atau sama dengan suatu nilai yang ditetapkan. Secara matematis, fungsi probabilitas kumulatif dinyatakan sebagai berikut.

F(x) = P(X £ x) = X £ p(x) Dimana:

F(x) = P(X £ x) menyatakan fungsi probabilitas kumulatif pada titik X = x yang merupakan jumlah dari seluruh nilai fungsi probabilitas untuk nilai X sama atau kurang dari x.

Contoh

Suatu koin dilantunkan empat kali.

Tentukan:

1) formula sebaran peluang munculnya H yaitu f(x)

2) sebaran kumulatif F(x) nya

Jawab:

1)    Jumlah titik cuplik anada 24 = 16. Jika x menyatakan banyaknya muncul H, akan ada kombinasi sebanyak C(4,x). Dengan demikian f(x) = C(4, x)/16, dimana x = 0, 1, 2, 3, 4

f(0) = (4!/4!)/16 =1/16

f(1)=(4!/3!)/16 = 4/16

f(2) = (4!/(2!2!))/16 = 6/16

 f(3) = f(1)

 f(4)= f(0);

2)   F(0) = f(0) = 1/16; F(1) = f(0) + f(1) = 5/16; ... dst

2.    Sebaran Peluang Kontinu

Distribusi peluang variabel acak kontinu dinyatakan dengan fungsi f(x) dan sering disebut sebagai fungsi kepadatan atau fungsi kepadatan peluang dan bukan fungsi peluang. Nilai f(x) bisa lebih besar dari 1.

Arti kerapatan peluang (kontinyu)

Tinjau sebaran tinggi badan dari orang berumur 21 thn. Antara sebarang dua nilai, mis. 163.5 –164.5, ada tak hingga macam tinggi badan. Peubah acak kontinyu memiliki peluang nol untuk suatu nilai eksak dari peubah acak ini.

P (a < X ≤ b )  = P ( a < X < b ) + P ( X = b )

= P ( a < X< b )+ 0

Jadi, tidak ada bedanya mengikutkan titik ujung dalam perhitungan ini atau pun tidak.

Peubah acak kontinyu tidak dapat ditampilkan secara tabular, namun bias dinyatakan dalam rumus. Peubah acak kontinyu dinyatakan dalam suatu fungsi rapat peluang f(x)

Fungsi rapat peluang kontinyu

Suatu fungsi rapat peluang dibentuk sedemikian hingga integrasi daerah dibawah kurva keseluruh X memberikan luas sebesar satu. Penentuan nilai peluang dalam rentang peubah acak antara a dan b.

Def. fungsi rapat peluang kontinyu

Suatu fungsi f(x) adalah fungsi rapat peluang untuk peubah acak kontinyu X yang didefinisikan keseluruh himpunan bilangan riil R, jika :

1.      F (x) ≥ 0 untuk semua x ∈ R

2.      ∫∞-∞ f(x) dx= 1

3.      P ( a < X < b ) =  ∫ba f(x) dx

Contoh:

Andaikan peubah acak X memiliki fungsi rapat peluang: f(x) = x2/3 ; -1<x<2 dan f(x)=0 selain itu. Tentukan:

(1) kondisi 2 pada definisi rapat kontinu

(2) Tentukan P(0< X ≤1)

Jawab:

1)      ∫∞-∞f(x) dx= ∫2-1(x2/3)dx = x3/9|2-1=(8/9) + (1/9) = 12)

2)       P(0< X ≤1) = ∫10(x2/3)dx= x3/9|10= 1/9

Sebaran peluang kumulatif kontinyu

Sebaran peluang kumulatif F(x) dari suatu peubah acak kontinyu X dengan fungsi kerapatan f(x) diberikan oleh

     Ada dua hasil langsung, yaitu:

1) P(a<X<b) = F(b) –F(a)

2) f(x) = dF(x)/dx

Contoh

Soal: Untuk fungsi pada contoh 2.6., tentukanF(x) dan gunakan untuk menghitung P(0< X ≤1)

Jawab:

Oleh karena itu,

P ( 0 < X ≤ 1 ) = F (1) – F (0) = (2/9) –(1/9) = 1/9